【证明】
证明:φ'(t)=lim(Δt→0)Δx/Δt≠0推出
Δx=O(Δt),【同阶无穷小】
dy/dx
=lim(Δx→0)Δy/Δx
=lim(Δx→0)(Δy/Δt)/(Δx/Δt)
=lim(Δt→0)(Δy/Δt)/(Δx/Δt)
=lim(Δt→0)(Δy/Δt)/lim(Δt→0)(Δx/Δt)
=(dy/dt)/(dx/dt)
=ψ'(t)/φ'(t)
【例1】
{x=arctant,y=ln(1+t²)},求dy/dx,d²y/dx²?
解:dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
=[2t/(1+t²)]/[1/(1+t²)]
=2t
【问】d²y/dx²=2?
【答】❌叉错
【求导数是有对象的,是谁对谁求导】
【从dy/dx到d²y/dx²,就是从一阶导到二阶导,它是对谁求导?它是对x求导!你算的2是对t,天真!没按要求。】
【所以应该怎样做?】
【d²y/dx²=d(dy/dx)/dx】
dy/dx=2t
那这里就是:
d²y/dx²
=d(dy/dx)/dx
=d(2t)/dx【一个是dt一个是dx,叭好】
=[(d/dt)(2t)]/[dx/dt]【同时比一个dt这个问题解决了】
=2/[1/(1+t²)]
=2(1+t²).
【例2】
{x=a(t-sint),y=a(1-cost)}确定y=y(x),
求d²y/dx²?
解:dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
=asint/a(1-cost)
=sint/(1-cost)
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
=d[sint/(1-cost)]/dx
={d[sint/(1-cost)]/dt}/{dx/dt}
=[1/a(1-cost)]{[cost·(1-cost)-sin²t]/(1-cost)²}
=整理略
不略不略来看一下整理
=[cost·(1-cost)-sin²t]/a(1-cost)³
=(cost-1)/a(1-cost)³
=-1/a(1-cost)²
嗯,看起来好看多了。
好了2.4节就到这里了。这一节是隐函数及有参数方程确定的函数求导,主要是两个东西的求导,一个是隐函数,一个是参数方程。
隐函数的求导把y看成φ(x)就行了,注意链式法则,以及有的显函数也可以隐式化求导,方法整体就是两边对x求导。
参数方程的话,主要是定理,y对dt求导除以x对dt求导,高阶导数【二阶及以上】的求导按照规则来,对x求导,我们记得各自加dt就行了。
不说了,我妈回来了,我吃晚饭了。
下一节是第二章导数与微分最后一节2.5微分。吃完饭再看。
……
晚餐惯例剩菜。我妈抱怨了一句天气好烦人哦。
……
听老师讲课,和自己看教材的确是不一样。老师的一句话可能就能启发我,而我自己想得很久。而且视频声音给的信息自然更丰富,属于富信息输入,只需要简单筛选吸收就行,而教材则是精华信息输入,需要信息扩充才能理解。
看下2.5直接结束第二章吧高数拖了十几天了还没结束前两章太拖沓了,主要是前几天我一直在玩游戏。真的垃圾。最近才渐渐体会到星之守护者一定要做好人的快感。但是我玩金克丝时队友是真的傻逼。举报九个人。
好的来看2.5微分。
一、例子
1.y=x²,x0=2,x0=2→x=2+Δx,求Δy
解:Δy=y(2+Δx)-y(2)
=(2+Δx)²-2²
=4Δx+(Δx)²
∵(Δx)²=o(Δx)【高阶无穷小,次要】
∴Δy=4Δx+o(Δx)
前面部分是主要的,后面是次要的
2.V=4πr³/3,r0=2,r=2+Δr,ΔV?
解:ΔV=V(2+Δr)-V(2)
=4π/3(2+Δr)³-(4π/3)r³
=4π/3[12Δr+6(Δr)²+(Δr)³]
=16πΔr+8π(Δr)²+(4π/3)(Δr)³
∵8π(Δr)²+(4π/3)(Δr)³=o(Δr)
∴ΔV=16πΔr+o(Δr)
define微分
y=f(x),x∈D,x0∈D,x0+Δx∈D,
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
if=AΔx+o(Δx)
则y=f(x)在x=x0处可微,称AΔx为y=f(x)在x=x0处的微分,记dy|【右下角x=x0】.
即dy|【右下角x=x0】=AΔx习惯写成Adx.
……
【目前可以公布的情报】
目前我们在一个点有哪些概念?
开始是,极限!极限是什么?左右极限存在且相等那就有极限。
紧接着产生一个概念,叫连续!什么是连续?极限值如果等于函数值,那就连续!所以一个点连续有三个等,哪三个?左极限、右极限、函数值。
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