……
【例1】
……
哦，不是视频少一段，而是我跳了一个视频。
……
有界不一定可积。
只存在有限个第一类间断点，也是可积的。
……
5.2 积分基本公式
一、积分基本公式产生的背景
二、积分基本定理
㈠变积分限的函数
定积分由积分上下限和函数关系确定，与积分变量无关。
积分上限函数。
【注解】①【f(x)】，表达式的x能换②【f(x，t)dt】，表达式中的x与上限中的x一样，所以x不能换
Th1，设f(x)∈C[a，b]，令Φ(x)=∫【积分区间(a，x)】f(t)dt.
则d/dx∫【积分区间(a，x)】f(t)dt=Φ'(x)=f(x).
【证明】【……】
【例1】混合定积分的求极限
【例2】有条件，求极限
【例3】
【注解】①d/dx∫【积分区间(a，x)】f(t)dt=f(x).
②①d/dx∫【积分区间(a，φ(x))】f(t)dt
=f[φ(x)]φ'(x)
三、积分基本定理——Newton-Leibniz公式【牛顿莱布利兹公式】
Th2，f(x)∈C[a，b]，F(x)为f(x)的一个原函数，则
∫【下上限a，b】f(x)dx=F(b)-F(a)
【证明】【利用上面的Th1】
……
晚餐，土豆五花肉，青椒苦瓜、馍馍、红烧鱼块。
……
牛顿莱布利兹公式的建立是划时代的事件（epoch-making event）。
……
重要定理：【积分中值定理的推广】
Th3，设f(x)∈C[a，b]，则∃ξ∈(a，b)，使
∫【(a，b)】f(x)dx=f(ξ)(b-a).
【解释】【ξ是有可能取的到端点，但是这个推广不考虑端点，并不是说端点取不到，与积分中值定理不矛盾】
【证明】【……拉格朗日……】
【介值定理、积分中值定理是闭区间，其他已学的是开区间】
【例3】
……
5.3一会儿再看。
……
牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人.【总论·都是巨人】
就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的.【分论点·相当】
他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反切线(微分)运算.【相同点】
牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但菜布尼茨成果的发表则早于牛顿.【差异】【各自的“早”】
另外，牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学.【牛顿的主要方面】
莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的.【莱布尼茨的主要方面及优点】
因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的.【小结及引出下文】
然而，在历史上，为了谁先发明微积分进行了一场世纪性的大争论.【事件总述】
这个争议，被认为是“科学史上最不幸的一章”，它对整个18世纪英国与欧陆国家在数学发展上的分道扬镳，产生了严重影响.【评价及影响】
虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的进步，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离分析的主流.【历史及评价】——数学史相关《高等数学》
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